Maturità 2026 Problema 2 soluzione problema e risposte quesiti A,B,C e D
La soluzione del Problema 2 di matematica per la maturità 2025: ecco lo studio della funzione e la risposta ai 4 quesiti proposti
La seconda prova di Matematica della Maturità 2026 per il Liceo Scientifico ha proposto agli studenti due problemi tra cui scegliere. Il Problema 2 si è concentrato sullo studio di funzioni razionali e con valore assoluto, richiedendo competenze che spaziano dall’analisi matematica classica al calcolo differenziale e integrale. Attraverso l’esame delle funzioni fa(x) e g(x), i candidati hanno dovuto determinare condizioni di tangenza, analizzare punti stazionari, studiare continuità e derivabilità, risolvere una disequazione e calcolare l’area di una regione delimitata nel piano cartesiano.
Si tratta di una traccia particolarmente completa, che ha permesso di verificare la padronanza degli strumenti fondamentali dell’analisi matematica sviluppati durante il percorso liceale. Di seguito proponiamo lo svolgimento dettagliato del Problema 2, con tutti i passaggi necessari per arrivare alle soluzioni richieste nei quesiti A, B, C e D.
La soluzione del problema 2 e le risposte dei quesiti sono state effettuate con l’aiuto dell’intelligenza artificiale.
>>> Maturità 2026 soluzione problema 1
Maturità 2026, seconda prova di Matematica: svolgimento completo del Problema 2
Problema 2 seconda prova matematica Maturità 2026: soluzione completa
Le funzioni assegnate sono: fa(x) = ax² / (x – 1), con a ≠ 0 g(x) = |x| / (x² + 1)
Punto a: studio della monotonia di fa e tangente comune
La funzione fa(x) è definita per: x ≠ 1 Calcoliamo la derivata: f’a(x) = a · x(x – 2) / (x – 1)² Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno della derivata dipende da: a · x(x – 2) Se a > 0: fa è crescente in (-∞, 0) e in (2, +∞) fa è decrescente in (0, 1) e in (1, 2) Se a < 0, la monotonia si inverte: fa è decrescente in (-∞, 0) e in (2, +∞) fa è crescente in (0, 1) e in (1, 2) I punti stazionari di fa sono: x = 0 x = 2 Per x = 2 si ha: fa(2) = 4a La funzione g(x), invece, per x > 0 diventa: g(x) = x / (x² + 1) La sua derivata è: g’(x) = (1 – x²) / (x² + 1)² Il punto stazionario positivo è: x = 1 e vale: g(1) = 1/2 Affinché la retta y = k sia tangente a entrambi i grafici, deve essere: 4a = 1/2 Quindi: a = 1/8 k = 1/2
Punto b: valore di a per cui il segmento AB è minimo
Il punto stazionario A del grafico di fa con xA ≠ 0 è: A = (2, 4a) Il punto stazionario B del grafico di g con xB > 0 è: B = (1, 1/2) La distanza AB è: AB = √[(2 – 1)² + (4a – 1/2)²] AB = √[1 + (4a – 1/2)²] Questa distanza è minima quando: 4a – 1/2 = 0 Dunque: a = 1/8 Il valore minimo del segmento AB è: AB = 1
Punto c: studio delle funzioni con a = 1/8
Poniamo ora: f1/8(x) = x² / [8(x – 1)] La funzione è definita per: x ≠ 1 La derivata è: f’1/8(x) = x(x – 2) / [8(x – 1)²] Quindi: f1/8 è crescente in (-∞, 0) f1/8 è decrescente in (0, 1) f1/8 è decrescente in (1, 2) f1/8 è crescente in (2, +∞) I punti stazionari sono: x = 0, con f(0) = 0, massimo relativo x = 2, con f(2) = 1/2, minimo relativo La funzione ha un asintoto verticale: x = 1 Inoltre: x² / (x – 1) = x + 1 + 1 / (x – 1) Quindi l’asintoto obliquo è: y = (x + 1) / 8 Per la funzione: g(x) = |x| / (x² + 1) il dominio è tutto R. La funzione è continua in tutto R, ma non è derivabile in x = 0 perché è presente il valore assoluto. Per x > 0: g(x) = x / (x² + 1) Per x < 0: g(x) = -x / (x² + 1) La funzione g è pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y. I punti di massimo sono: (-1, 1/2) e (1, 1/2) In x = 0 si ha: g(0) = 0 Il punto x = 0 è un punto angoloso.
Risoluzione della disequazione f1/8(x) > g(x)
Dobbiamo risolvere: x² / [8(x – 1)] > |x| / (x² + 1) Per x < 0, f1/8(x) è negativa mentre g(x) è positiva, quindi la disequazione è falsa. Per 0 < x < 1, anche in questo caso f1/8(x) è negativa mentre g(x) è positiva, quindi la disequazione è falsa. Per x > 1, entrambe le funzioni sono positive. La disequazione diventa: x² / [8(x – 1)] > x / (x² + 1) Dividendo per x > 0: x / [8(x – 1)] > 1 / (x² + 1) Moltiplicando per quantità positive: x(x² + 1) > 8(x – 1) x³ + x > 8x – 8 x³ – 7x + 8 > 0 Questa espressione è positiva per ogni x > 1. Quindi la soluzione della disequazione è: (1, +∞)
Punto d: area della regione delimitata da γ, asse x e rette passanti per i punti di flesso
La funzione g(x) ha punti di flesso in: x = -√3 x = √3 La regione richiesta è quella compresa tra il grafico di g, l’asse x e le due rette verticali: x = -√3 x = √3 Poiché g è pari, l’area è: A = 2 ∫ da 0 a √3 x / (x² + 1) dx Calcoliamo l’integrale: ∫ x / (x² + 1) dx = 1/2 ln(x² + 1) Quindi: A = 2 · [1/2 ln(x² + 1)] da 0 a √3 A = ln(3 + 1) – ln(1) A = ln 4 Poiché ln 4 = 2 ln 2, l’area richiesta è: A = ln 4 oppure: A = 2 ln 2
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2 responses to “Maturità 2026 Problema 2 soluzione problema e risposte quesiti A,B,C e D”
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avete copiato male il testo del quesito, l’esponente sulla x è 2 non 3 Questa differenza cambia tutto: dominio, derivata, punti stazionari, asintoti e disequazione.
grazie per la segnalazione