Maturità 2026 Problema 1 di matematica lago di Bracciano: soluzione e risposte quesiti A,B,C,D

Seconda prova liceo scientifico maturità 2026: ecco la soluzione del problema 1 con la citazione di Einstein e il lago di Bracciano

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La seconda prova di Matematica della Maturità 2026 per il Problema 1 si apre con una celebre riflessione di Albert Einstein tratta dalla conferenza Geometrie und Erfahrung del 1921: «Nella misura in cui i teoremi della Matematica si riferiscono alla realtà, non sono certi, e nella misura in cui essi sono certi, non si riferiscono alla realtà».

Una citazione che invita gli studenti a riflettere sul rapporto tra il rigore della matematica e la complessità del mondo reale. Proprio questo legame tra modelli teorici e fenomeni concreti è al centro del Problema 1, dedicato al lago di Bracciano e all’andamento del suo livello idrometrico tra il 2016 e il 2026.

Attraverso l’analisi di dati reali e la costruzione di funzioni matematiche in grado di descriverne l’evoluzione nel tempo, il quesito richiede di applicare strumenti dell’algebra e dell’analisi per interpretare una situazione ambientale che ha avuto un forte impatto sul territorio. Nel punto A, in particolare, viene chiesto di determinare il modello matematico che meglio rappresenta l’andamento del livello dell’acqua nei diversi intervalli temporali indicati dalla traccia, individuando i parametri necessari a descrivere l’evoluzione del fenomeno.

Vediamo secondo l’intelligenza artificiale quelle che dovrebbero essere le soluzioni. Vediamo come si risolve il problema 1 e cerchiamo poi di dare risposta ai quesiti che riguardano il problema 1 della maturità 2026.

IN QUESTO ARTICOLO LEGGERAI DI...

Maturità 2026 Problema 1: la soluzione del problema e della funzione

Primo intervallo: dal 2016 al 2019

La traccia propone il modello: $y=a(x-2)^4+b(x-2)^3+c(x-2)^2-20$ y=a(x−2)4+b(x−2)3+c(x−2)2−20

Utilizziamo i punti:

(0; -6)
(1; -16)
(2; -20)
(3; -18)

Per $x=1$ x=1: $a-b+c-20=-16$ a−b+c−20=−16 $a-b+c=4$ a−b+c=4

Per $x=3$ x=3: $a+b+c-20=-18$ a+b+c−20=−18 $a+b+c=2$ a+b+c=2

Per $x=0$ x=0: $16a-8b+4c-20=-6$ 16a−8b+4c−20=−6 $16a-8b+4c=14$ 16a−8b+4c=14

Risolvendo il sistema si ottiene: $a=-\frac{1}{2}$ a=−21 $b=-1$ b=−1 $c=\frac{7}{2}$ c=27

Il primo modello è quindi: $y=-\frac{1}{2}(x-2)^4-(x-2)^3+\frac{7}{2}(x-2)^2-20$ y=−21(x−2)4−(x−2)3+27(x−2)2−20

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Secondo intervallo: dal 2019 al 2023

La traccia propone: $y=mx-24+\sin^2(\pi x)$ y=mx−24+sin2(πx)

Poiché $x$ x assume valori interi, $\sin(\pi x)=0$ sin(πx)=0

e quindi $\sin^2(\pi x)=0$ sin2(πx)=0

Il modello diventa: $y=mx-24$ y=mx−24

Utilizzando il punto (3; -18): $-18=3m-24$ −18=3m−24 $3m=6$ 3m=6 $m=2$ m=2

Pertanto: $y=2x-24+\sin^2(\pi x)$ y=2x−24+sin2(πx)

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Terzo intervallo: dal 2023 al 2026

La traccia propone: $y=2\cos(2\pi x)+k$ y=2cos(2πx)+k

Utilizzando il punto (7; -10): $-10=2\cos(14\pi)+k$ −10=2cos(14π)+k

Poiché: $\cos(14\pi)=1$ cos(14π)=1

si ottiene: $-10=2+k$ −10=2+k $k=-12$ k=−12

Il modello è quindi: $y=2\cos(2\pi x)-12$ y=2cos(2πx)−12

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Funzione finale

La funzione che descrive l’andamento del livello dell’acqua del lago di Bracciano è: $f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{2}(x-2)^4-(x-2)^3+\frac{7}{2}(x-2)^2-20 & \text{per } 0\le x\le3 \\[6pt] 2x-24+\sin^2(\pi x) & \text{per } 3\le x\le7 \\[6pt] 2\cos(2\pi x)-12 & \text{per } 7\le x\le10 \end{cases}$

f(x)=⎩⎨⎧−21(x−2)4−(x−2)3+27(x−2)2−202x−24+sin2(πx)2cos(2πx)−12per 0≤x≤3per 3≤x≤7per 7≤x≤10

I parametri richiesti risultano: $a=-\frac{1}{2}$ a=−21 $b=-1$ b=−1 $c=\frac{7}{2}$ c=27 $m=2$ m=2 $k=-12$ k=−12

Risposta

La funzione richiesta è:

f(x) = -½(x−2)⁴ − (x−2)³ + 7/2(x−2)² − 20 per 0 ≤ x ≤ 3

f(x) = 2x − 24 + sin²(πx) per 3 ≤ x ≤ 7

f(x) = 2cos(2πx) − 12 per 7 ≤ x ≤ 10

con:

a = −1/2, b = −1, c = 7/2, m = 2, k = −12.

La soluzione del quesito A problema 1 Maturità 2026

Problema 1 maturità 2026: quesito B

Quesito B

La funzione è continua in tutto l’intervallo $[0;10]$ [0;10], perché nei punti di raccordo $x=3$ x=3 e $x=7$ x=7 i valori delle funzioni coincidono.

In particolare:

$f(3)=-18$ f(3)=−18

$f(7)=-10$ f(7)=−10

Studiamo ora la derivabilità.

Nel primo tratto:

$f'(x)=-2(x-2)^3-3(x-2)^2+7(x-2)$ f′(x)=−2(x−2)3−3(x−2)2+7(x−2)

Nel secondo tratto:

$f'(x)=2+\pi \sin(2\pi x)$ f′(x)=2+πsin(2πx)

Nel terzo tratto:

$f'(x)=-4\pi \sin(2\pi x)$ f′(x)=−4πsin(2πx)

Nel punto $x=3$ x=3 la funzione è derivabile, perché la derivata sinistra e la derivata destra coincidono:

$f’_-(3)=2$ f−′(3)=2

$f’_+(3)=2$ f+′(3)=2

Nel punto $x=7$ x=7, invece, la funzione non è derivabile, perché:

$f’_-(7)=2$ f−′(7)=2

$f’_+(7)=0$ f+′(7)=0

Quindi la funzione è continua in $[0;10]$ [0;10], ma non è derivabile in $x=7$ x=7.

Per quanto riguarda gli estremi relativi, nel primo tratto si ha un minimo relativo in:

$x=2$ x=2

con:

$f(2)=-20$ f(2)=−20

Quindi il punto è:

$(2;-20)$ (2;−20)

Nel terzo tratto, la funzione:

$f(x)=2\cos(2\pi x)-12$ f(x)=2cos(2πx)−12

ha massimi relativi nei punti in cui il coseno vale 1, quindi per esempio:

$x=8$ x=8, $x=9$ x=9

con valore:

$f(x)=-10$ f(x)=−10

Ha invece minimi relativi nei punti in cui il coseno vale -1, cioè:

$x=7,5$ x=7,5, $x=8,5$ x=8,5, $x=9,5$ x=9,5

con valore:

$f(x)=-14$ f(x)=−14

Anche $x=7$ x=7 può essere considerato un massimo relativo, perché la funzione arriva al valore $-10$ −10 e subito dopo diminuisce.

Problema 1 maturità 2026: quesito C

Il teorema di Lagrange non è applicabile alla funzione $f$ f nell’intervallo $[0;10]$ [0;10].

Il teorema di Lagrange richiede infatti che la funzione sia:

continua in $[0;10]$ [0;10];
derivabile in $(0;10)$ (0;10).

La funzione è continua in tutto l’intervallo, ma non è derivabile nel punto $x=7$ x=7. Infatti:

$f’_-(7)=2$ f−′(7)=2

mentre:

$f’_+(7)=0$ f+′(7)=0

Poiché le due derivate laterali sono diverse, la funzione non è derivabile in $x=7$ x=7. Per questo motivo il teorema di Lagrange non può essere applicato.

Tuttavia esistono punti $s$ s appartenenti all’intervallo $(0;10)$ (0;10) tali che:

$f'(s)=\frac{f(10)-f(0)}{10-0}$ f′(s)=10−0f(10)−f(0)

Calcoliamo il rapporto incrementale:

$f(10)=-10$ f(10)=−10

$f(0)=-6$ f(0)=−6

Quindi:

$\frac{f(10)-f(0)}{10-0}=\frac{-10-(-6)}{10}=\frac{-4}{10}=-0,4$ 10−0f(10)−f(0)=10−10−(−6)=10−4=−0,4

Esistono punti in cui la derivata vale $-0,4$ −0,4, perché nei vari tratti la derivata assume anche valori negativi. Ad esempio, nel primo intervallo la derivata passa da valori negativi fino a 0, quindi assume anche il valore $-0,4$ −0,4.

Maturità 2026 problema 1 quesito D

Il teorema della Media Integrale è applicabile perché la funzione $f$ f è continua nell’intervallo $[0;10]$ [0;10].

La variazione media del livello dell’acqua è:

$\Delta h=\frac{f(10)-f(0)}{10-0}$ Δh=10−0f(10)−f(0)

Sostituendo i valori:

$\Delta h=\frac{-10-(-6)}{10}=\frac{-4}{10}=-0,4$ Δh=10−10−(−6)=10−4=−0,4

Quindi la variazione media annua è:

$\Delta h=-0,4$ Δh=−0,4 dm all’anno.

Nel complesso, tra il 2016 e il 2026 il livello del lago è diminuito di:

$-4$ −4 dm

cioè:

$-0,4$ −0,4 metri.

La superficie del lago è circa:

$57 \, km^2 = 57.000.000 \, m^2$ 57km2=57.000.000m2

La variazione di volume è:

$V=57.000.000 \cdot (-0,4)$ V=57.000.000⋅(−0,4)

$V=-22.800.000 \, m^3$ V=−22.800.000m3

Poiché:

$1 \, m^3 = 1000$ 1m3=1000 litri

si ottiene:

$22.800.000 \cdot 1000 = 22.800.000.000$ 22.800.000⋅1000=22.800.000.000 litri.

La differenza di volume d’acqua tra l’inizio del 2016 e l’inizio del 2026 è quindi di circa:

22,8 miliardi di litri d’acqua in meno.