Seconda prova matematica soluzione quesiti 4,5 e 6 Maturità 2026
Maturità 2026 la seconda prova al liceo scientifico: ecco la soluzione dei quesiti 4, 5 e 6
Dopo i primi tre quesiti dedicati alla geometria piana, alla geometria nello spazio e all’applicazione dei logaritmi nello studio dei terremoti, la seconda prova di Matematica della Maturità 2026 prosegue con esercizi che richiedono una solida padronanza dell’analisi matematica e dello studio delle funzioni. I quesiti 4, 5 e 6 mettono infatti alla prova gli studenti su argomenti fondamentali del programma del Liceo Scientifico: il calcolo integrale e il teorema fondamentale del calcolo, le proprietà delle funzioni logaritmiche e dei loro asintoti, oltre allo studio delle funzioni razionali fratte e degli asintoti obliqui.
Si tratta di esercizi che combinano rigore teorico e capacità di applicazione pratica delle formule, chiedendo ai candidati non solo di eseguire correttamente i calcoli ma anche di dimostrare proprietà matematiche e ricavare equazioni a partire dalle condizioni assegnate. Di seguito proponiamo la soluzione completa e commentata dei quesiti 4, 5 e 6 della seconda prova di Matematica della Maturità 2026, con tutti i passaggi utili per comprendere il procedimento e verificare la correttezza dei risultati.
Ricordiamo che usiamo delle immagini sfocate , che potrebbero presentare errori e dunque, non è sicuro che le soluzioni siano corrette. Per la soluzione di questi quesiti è stata usata l’intelligenza artificiale.
>>> Leggi qui la soluzione dei quesiti 1,2 e 3
Quesiti seconda prova maturità 2026: Quesito 4
Si considera la funzione:
F(x) = ∫ da 0 a x di 1/(1 + t²) dt + ∫ da 1 a 1/x di 1/(1 + t²) dt, con x > 0
Bisogna dimostrare che F(x) è costante e calcolarne il valore.
Calcoliamo la derivata della funzione.
La derivata del primo integrale è:
F₁’(x) = 1/(1 + x²)
Per il secondo integrale, usando la regola della derivata di una funzione composta, si ha:
F₂’(x) = 1/[1 + (1/x)²] · (-1/x²)
Semplifichiamo:
F₂’(x) = -1/(x² + 1)
Quindi:
F’(x) = 1/(1 + x²) – 1/(1 + x²) = 0
Poiché la derivata è uguale a zero per ogni x > 0, la funzione F(x) è costante.
Per calcolare il valore della costante, scegliamo un valore comodo, ad esempio x = 1.
F(1) = ∫ da 0 a 1 di 1/(1 + t²) dt + ∫ da 1 a 1 di 1/(1 + t²) dt
Il secondo integrale è nullo, quindi:
F(1) = ∫ da 0 a 1 di 1/(1 + t²) dt
La primitiva di 1/(1 + t²) è arctan(t), dunque:
F(1) = arctan(1) – arctan(0)
F(1) = π/4 – 0
F(1) = π/4
Quindi la funzione è costante e vale:
F(x) = π/4
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Maturità 2026 soluzione quesiti: il Quesito 5
Si deve determinare il valore dei parametri reali h e k, con h ≠ 0 e k ≠ 0, in modo che la curva:
y = h ln[(x² + k)⁵]
abbia le rette:
x = -√3
x = √3
come asintoti verticali e che le tangenti nei punti A e B di intersezione con l’asse delle ascisse si incontrino nel punto:
C(0; -4)
Determinazione di k
Gli asintoti verticali della funzione logaritmica si hanno quando l’argomento del logaritmo tende a zero.
L’argomento è:
(x² + k)⁵
Quindi poniamo:
x² + k = 0
Gli asintoti verticali devono essere:
x = -√3 e x = √3
Perciò:
x² = 3
e quindi:
3 + k = 0
Da cui:
k = -3
La funzione diventa:
y = h ln[(x² – 3)⁵]
Usando la proprietà dei logaritmi:
y = 5h ln(x² – 3)
Punti di intersezione con l’asse x
Per trovare i punti A e B, poniamo y = 0:
5h ln(x² – 3) = 0
Poiché h ≠ 0:
ln(x² – 3) = 0
Quindi:
x² – 3 = 1
x² = 4
x = ±2
I punti di intersezione con l’asse delle ascisse sono:
A(-2; 0)
B(2; 0)
Determinazione di h
Calcoliamo la derivata della funzione:
y = 5h ln(x² – 3)
y’ = 5h · 2x/(x² – 3)
y’ = 10hx/(x² – 3)
Nel punto B(2; 0):
y’(2) = 10h · 2/(4 – 3) = 20h
La tangente in B ha equazione:
y = 20h(x – 2)
Nel punto A(-2; 0):
y’(-2) = 10h · (-2)/(4 – 3) = -20h
La tangente in A ha equazione:
y = -20h(x + 2)
Le due tangenti devono incontrarsi nel punto:
C(0; -4)
Sostituiamo x = 0 nella tangente in B:
y = 20h(0 – 2)
y = -40h
Poiché il punto di incontro ha ordinata -4:
-40h = -4
h = 1/10
Quindi i valori richiesti sono:
k = -3
h = 1/10
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Quesito 6
Si deve determinare l’espressione del polinomio p(x) tale che il grafico della funzione:
f(x) = p(x)/(2x + 1)
passi per il punto:
P(1; 0)
e abbia come asintoto obliquo la retta:
y = 3x – 2
Poiché l’asintoto obliquo è y = 3x – 2, il polinomio p(x) deve poter essere scritto come:
p(x) = (2x + 1)(3x – 2) + r
dove r è un resto costante.
Sviluppiamo:
(2x + 1)(3x – 2)
= 6x² – 4x + 3x – 2
= 6x² – x – 2
Quindi:
p(x) = 6x² – x – 2 + r
La funzione passa per il punto P(1; 0), quindi:
f(1) = 0
Questo significa che:
p(1) = 0
Calcoliamo:
p(1) = 6 · 1² – 1 – 2 + r
p(1) = 6 – 1 – 2 + r
p(1) = 3 + r
Poniamo:
3 + r = 0
r = -3
Quindi:
p(x) = 6x² – x – 2 – 3
p(x) = 6x² – x – 5
Il polinomio richiesto è:
p(x) = 6x² – x – 5
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